Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 3 , Abgabe: Fr, 12.05.00, 11.00 Uhr

Aufgabe 9: (4 Punkte) Die Orthogonaltrajektorien einer Kurvenschar sind diejenigen Kurven, welche jede Kurve der Schar orthogonal schneiden.

(a) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf für die Orthogonaltrajektorien der Schar F (x, y, c) = 0. Nehmen Sie an, daß die partiellen Ableitungen von F nicht verschwinden.

(b) Berechnen Sie die Orthogonaltrajektorien der Hyperbelschar

y^{2} − x^{2} = c^{2} .

(c) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf für die Orthogonaltrajektorien der Schar aus Aufgabe 1.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertaufgaben:

\begin{aligned}(a) & y′ & = & y^{2} − 1 & , & y(0) & = & \frac{1}{3} & , \\ (b) & y′ & = & −\frac{y}{x^{2}−4x} & , & y (\frac{81}{20}) & = & 1 & , \\ (c) & y′ & = & \frac{y−\sqrt{x^{2}−y^{2}}}{x} & , & y(1) & = & 0 & , \\ (d) & y′ − y & = & xy^{5} & , & y(0) & = & 1 & . \end{aligned}

Aufgabe 11: (4 Punkte) Sei a ∈ C(I) und x_{0} ∈ I. y ∈ C^{1}(I) erfülle

y′(x) ≤ a(x)y(x) , y(x_{0}) ≤ y_{0} .

Zeigen Sie: In I gilt

y(x) ≤ y_{0}e^{A(x)} , A(x) = ∫_{x_{0}}^{x} a(ξ)dξ .

\underline{Hinweis:} Sei z die Lösung von z′ = az, z(x_{0}) = y_{0}. Betrachten Sie die Funktion y/z.

Aufgabe 12: (4 Punkte) Seien φ_{i}, ψ_{i} stetig differenzierbare Funktionen mit ψ_{0}φ_{1} − ψ_{1}φ_{0} ≠ 0. Geben Sie eine Riccatische Differentialgleichung an, so daß für alle Konstanten c_{1}, c_{0}, welche nicht beide verschwinden, die Funktion

y = \frac{ψ_{0}c_{0} + ψ_{1}c_{1}}{φ_{0}c_{0} + φ_{1}c_{1}}

Lösung dieser Differentialgleichung ist.