Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 2 , Abgabe: Fr, 5.05.00, 11.00 Uhr

Aufgabe 5: (4 Punkte) Seien a, c konstant und s(x) = (b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{m}x^{m})e^{cx}. Zeigen Sie, daß es immer eine Lösung von y′ = ay + s der Form

x^{r}(A_{0} + A_{1}x + ⋯ + A_{m}x^{m})e^{cx}

mit r = 0 für a ≠ c und r = 1 für a = c gibt und berechnen Sie eine solche.

Aufgabe 6: (6 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß der lineare Raum aller Funktionen aus C(0, 1] mit beschränkter

Norm

∥f∥ = sup_{(0,1]} |\frac{1}{x}f(x)|

ein Banachraum ist.

(b) Sei f ∈ C([0, 1] × IR^{1}) und für 0 < x ≤ 1, y_{1}, y_{2} ∈ IR^{1}

|f(x, y_{1}) − f(x, y_{2})| ≤ \frac{L}{x}|y_{1} − y_{2}| , L < 1 .

Zeigen Sie, daß das Anfangswertproblem

y′ = f(x, y) , y(0) = y_{0}

genau eine Lösung besitzt.

Aufgabe 7: (5 Punkte)

Sei D_{M} = {y ∈ C^{1}[a, b] : ∫_{a}^{b}(y^{2} + y^{′^{2}})dx ≤ M^{2}}.

Zeigen Sie: D_{M} ist relativ kompakt in C[a, b] (mit der Norm des maximalen Betrages).

Aufgabe 8: (4 Punkte) Lösen Sie die Anfangswertaufgaben

(a) y′ = 2xy + x , y(0) = 1 (b) y′ = \frac{2}{x}y + 2x^{3} , y(2) = 20 .