Prof. Dr. F. Natterer SS 2000

Übungen zur Vorlesung “Gewöhnliche Differentialgleichungen”

Übungsblatt 1 , Abgabe: ausnahmsweise Di, 25.04.00, 9.00 Uhr, die folgenden immer freitags 11.00 Uhr

Aufgabe 1: (4 Punkte) Stellen Sie eine Differentialgleichung 1. Ordnung auf für die Schar der Parabeln mit der x-Achse als Achse und dem Ursprung als Brennpunkt.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die Differentialgleichungen

(a) y′ = xy^{2}  (b) y^{2}y′ = x^{2}  (c) x^{2}y′′ − xy′ + y = 0

die Lösungen

(a) y = \frac{2}{2−x^{2}}  (b) y = (x^{3} + 8)^{1/3}  (c) y = x − xℓn x

besitzen. In welchen Intervallen sind diese Lösungen gültig?

Aufgabe 3: (4 Punkte) Die Temperatur T (t) einer heißen Kartoffel zum Zeitpunkt ändere sich proportional zur Differenz (T (t) − T_{A}), wobei T_{A} die Außentemperatur ist. Eine gebackene Kartoffel kühlt sich bei einer Umgebungstemperatur von 25^{∘} in 5 Minuten von 250^{∘} auf 100^{∘} ab.

(a) Stellen Sie die Differentialgleichung auf und lösen Sie sie.

(b) Wann hat die Kartoffel die Eßtemperatur von 50^{∘} erreicht?

(c) Zeichnen Sie den Graphen T (t) der Temperatur, t = 0 … 15 Min.

Aufgabe 4: (4 Punkte) Stellen Sie eine Differentialgleichung 2. Ordnung auf für die Schar der Kreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse und beliebigem (!) Radius.