Aufgaben GDGL SS 1998

Frank Wübbeling

17. September 1998

Aufgabe 1: (4 Punkte) Stellen Sie eine Differentialgleichung 1. Ordnung auf für die Schar der Parabeln mit der x-Achse als Achse und dem Ursprung als Brennpunkt.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Zeigen Sie, daß die Differentialgleichungen

(a) y′ = xy^{2}  (b) y^{2}y′ = x^{2}  (c) x^{2}y′′ − xy′ + y = 0

die Lösungen

(a) y = \frac{2}{2−x^{2}}  (b) y = (x^{3} + 8)^{1/3}  (c) y = x − xℓn x

besitzen. In welchen Intervallen sind diese Lösungen gültig?

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei f stetig in [a, b] und y_{k} die Approximation der Polygonzugmethode für die Anfangswertaufgabe

y′ = f(x) , y(a) = 0 .

Sei x ∈ [a, b]. Zeigen Sie: Für h → 0 und k → ∞, so daß hk = x − a gilt

lim_{k→∞} y_{k} = y(x) ,

wo

y(x) = ∫_{a}^{x} f(s)ds

Lösung der Anfangswertaufgabe ist.

Aufgabe 4: (4 Punkte) Stellen Sie eine Differentialgleichung 2. Ordnung auf für die Schar der Kreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse und beliebigem (!) Radius.

Aufgabe 5: (4 Punkte) Seien a, c konstant und s(x) = (b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{m}x^{m})e^{cx}. Zeigen Sie, daß es immer eine Lösung von y′ = ay + s der Form

x^{r}(A_{0} + A_{1}x + ⋯ + A_{m}x^{m})e^{cx}

mit r = 0 für a ≠ c und r = 1 für a = c gibt und berechnen Sie eine solche.

Aufgabe 6: (6 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß der lineare Raum aller Funktionen aus C(0, 1] mit beschränkter

Norm

∥f∥ = sup_{(0,1]} |\frac{1}{x}f(x)|

ein Banachraum ist.

(b) Sei f ∈ C([0, 1] × IR^{1}) und für 0 < x ≤ 1, y_{1}, y_{2} ∈ IR^{1}

|f(x, y_{1}) − f(x, y_{2})| ≤ \frac{L}{x}|y_{1} − y_{2}| , L < 1 .

Zeigen Sie, daß das Anfangswertproblem

y′ = f(x, y) , y(0) = y_{0}

genau eine Lösung besitzt.

Aufgabe 7: (5 Punkte)

Sei D_{M} = {y ∈ C^{1}[a, b] : ∫_{a}^{b}(y^{2} + y^{′^{2}})dx ≤ M^{2}}.

Zeigen Sie: D_{M} ist relativ kompakt in C[a, b] (mit der Norm des maximalen Betrages).

Aufgabe 8: (4 Punkte) Lösen Sie die Anfangswertaufgaben

(a) y′ = 2xy + x , y(0) = 1 (b) y′ = \frac{2}{x}y + 2x^{3} , y(2) = 20 .

Aufgabe 9: (4 Punkte) Die Orthogonaltrajektorien einer Kurvenschar sind diejenigen Kurven, welche jede Kurve der Schar orthogonal schneiden.

(a) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf für die Orthogonaltrajektorien der Schar F (x, y, c) = 0.

(b) Berechnen Sie die Orthogonaltrajektorien der Hyperbelschar

y^{2} − x^{2} = c^{2} .

(c) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf für die Orthogonaltrajektorien der Schar aus Aufgabe 1.

Aufgabe 10: (4 Punkte) Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertaufgaben:

\begin{aligned}(a) & y′ & = & y^{2} − 1 & , & y(0) & = & \frac{1}{3} & , \\ (b) & y′ & = & −\frac{y}{x^{2}−4x} & , & y (\frac{81}{20}) & = & 1 & , \\ (c) & y′ & = & \frac{y−\sqrt{x^{2}−y^{2}}}{x} & , & y(1) & = & 0 & , \\ (d) & y′ − y & = & xy^{5} & , & y(0) & = & 1 & . \end{aligned}

Aufgabe 11: (4 Punkte) Sei a ∈ C(I) und x_{0} ∈ I. y ∈ C^{1}(I) erfülle

y′ ≤ a(x)y , y(x_{0}) ≤ y_{0} .

Zeigen Sie: In I gilt

y ≤ y_{0}e^{A} , A(x) = ∫_{x_{0}}^{x} a(ξ)dξ .

\underline{Hinweis:} Sei z die Lösung von z′ = az, z(x_{0}) = y_{0}. Betrachten Sie die Funktion y/z.

Aufgabe 12: (4 Punkte) Seien φ_{i}, ψ_{i} stetig differenzierbare Funktionen mit ψ_{0}φ_{1} − ψ_{1}φ_{0} ≠ 0. Geben Sie eine Riccatische Differentialgleichung an, so daß für alle Konstanten c_{1}, c_{0}, welche nicht beide verschwinden, die Funktion

y = \frac{ψ_{0}c_{0} + ψ_{1}c_{1}}{φ_{0}c_{0} + φ_{1}c_{1}}

Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Aufgabe 13: (4 Punkte)

Bestimmen Sie für die Differentialgleichung

xy^{3} + y − 2xy′ = 0

einen integrierenden Faktor und konstruieren Sie damit Lösungen, die nicht identisch verschwinden.

Aufgabe 14: (4 Punkte)

Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben:

(a) y′e^{y} − x − x^{3} = 0, y(1) = 1.

(b) y′y + (1 + y^{2}) sin x = 0, y(0) = 1.

Aufgabe 15: (4 Punkte)

Lösen Sie die logistische Differentialgleichung aus Abschnitt 1 in Kapitel I mit den Methoden aus Abschnitt 1 in Kapitel III.

Aufgabe 16: (4 Punkte)

Die Kurven der Schar

r = c(1 + cos φ)

nennt man Kardioiden (r,φ bedeuten Polarkoordinaten, d.h. x = r cos φ, y = r sin φ). Zeigen Sie: Die Orthogonaltrajektorien dieser Schar sind ebenfalls Kardioiden.

Kardioiden für c = 1 und c = 2

\underline{Hinweis:} Am besten schreiben Sie die allgemeine Form der Differentialgleichung für die Orthogonaltrajektorien aus Aufgabe 9 in Polarkoordinaten auf.

Aufgabe 17: (4 Punkte) Wir betrachten die Differentialgleichung pdx + qdy = 0 mit p, q ∈ C^{1}(IR^{2}).

(a) Hängt f = (p_{y} −q_{x})/q nur von x ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(x).

(b) Hängt g = (p_{y} −q_{x})/p nur von y ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(y).

(c) Hängt h = (p_{y} − q_{x})/(xp − yq) nur von xy ab, so gibt es einen integrierenden Faktor der Form M = M(xy).

Aufgabe 18: (4 Punkte)

Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch integrierende Faktoren nach Aufgabe 17:

(a) y′ = \frac{2xy}{3x^{2} − y^{2}}
(b) y′ = \frac{3x^{2}(y − x)^{2} − sin x + x cos x}{3x^{2}(y − x)^{2}}
(c) y′ = −\frac{3xy + 4x^{2}y^{2}}{2x^{2} + 3x^{3}y}
(d) y′ = −\frac{cos x}{4ye^{−y} + sin x}

Aufgabe 19: (4 Punkte) Lösen Sie die Differentialgleichung

y′ = −\frac{4x + 3y − 1}{3x + 4y + 1} .

Aufgabe 20: (4 Punkte) Lösen Sie

y′ = −\frac{2x^{2} + 2xy + y^{2}}{x^{2} + 2xy}

(a) als homogene Differentialgleichung.

(b) als exakte Differentialgleichung.

Aufgabe 21: (4 Punkte) Sei c(t) = a(t) + ib(t). Wir betrachten die komplexe Differentialgleichung z′ = cz.

(a) Schreiben Sie ein äquivalentes lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil von z auf.

(b) Zeigen Sie, daß v(t) = |z(t)|^{2} einer linearen Differentialgleichung genügt.

(c) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem des Systems aus (a) mit

a = cos t , b = sin t

und berechnen Sie dessen Wronski-Determinante.

Aufgabe 22: (4 Punkte) Seien a, b ∈ C^{1}(IR^{2}) mit a^{2} + b^{2} > 0. Zeigen Sie:

(a) Eine Funktion w ∈ C^{1}(IR^{2}) ist genau dann Lösung der partiellen Differentialglei-

chung

aw_{x} + bw_{y} = 0 ,

wenn w entlang aller Lösungen von x′ = a(x, y), y′ = b(x, y) konstant ist.

(b) Sei C : x = φ(s), y = ψ(s), 0 ≤ s ≤ 1, eine Kurve in IR^{2} mit φ, ψ ∈ C^{1}[0, 1] und a(φ(s), ψ(s))ψ′(s) − b(φ(s), ψ(s))φ′(s) ≠ 0. Zeigen Sie, daß es in einer Umgebung von C eine Lösung w der partiellen Differentialgleichung gibt, welche entlang C vorgeschriebene Werte w(φ(s), ψ(s)) = χ(s), χ ∈ C^{1}[0, 1] annimmt.

Aufgabe 23: (4 Punkte) Sei A(t) eine stetige (n, n)-Matrix mit der Periode p, d.h. A(t + p) = A(t). Sei Y ein Fundamentalsystem von y′ = Ay. Zeigen Sie:

(a) Es gibt eine invertierbare Matrix C mit Y (t + kp) = Y (t)C^{k}, k ∈ Z.

(b) Zu jedem Eigenwert λ von C gibt es eine Lösung y von y′ = Ay mit y(t+p) = λy(t).

Aufgabe 24: (4 Punkte) Sei A(t) eine im Intervall J stetige schiefsymmetrische (d.h. A^{T} = −A) Matrix, und sei Y ein Fundamentalsystem von y′ = Ay. Zeigen Sie: Ist Y unitär (d.h. Y^{T} Y = I) für ein x_{0} ∈ J, so ist Y unitär in ganz J.

Aufgabe 25: (4 Punkte) Sei A die (n, n)-Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & ⋯ \\ 0 & ⋯ & & & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & & ⋯ & & −a_{n−1} \end{matrix} ) .

Dabei seien a_{0}, …, a_{n−1} komplexe Zahlen.

Das Polynom λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + ⋯ + a_{0} = 0 habe die paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} mit den Vielfachheiten σ_{1}, …, σ_{m}. Zeigen Sie: Die Jordansche Normalform von A besteht aus m Jordan-Kästchen der Längen σ_{1}, …, σ_{m}.

Aufgabe 26: (4 Punkte) Sei λ ein Eigenwert von A und c_{1}, …, c_{r} linear unabhängige Hauptvektoren zu λ, d.h.

(A − λI)c_{k} = c_{k−1} , k = 1, …, r , c_{0} = 0 .

Zeigen Sie, daß

y_{k}(x) = (c_{k} + xc_{k−1} + ⋯ + \frac{x^{k−1}}{(k − 1)!}c_{1})e^{λx} , k = 1, …, r ,

linear unabhängige Lösungen von y′ = Ay sind.

Aufgabe 27: (4 Punkte)

Das System

y′_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}(x)y_{j}  (1)

besitze eine Lösung u mit u_{1} ≠ 0. Zeigen Sie:

(a) Ist z eine Lösung von

z′_{i} = ∑_{j=2}^{n}(a_{ij} − \frac{u_{i}}{u_{1}} a_{1j})z_{j} ,  i = 2, …, n ,  (2)

so ist

y_{i} = ϕ(x)u_{i} + z_{i} ,  z_{1} = 0 , ϕ′(x) = \frac{1}{u_{1}} ∑_{j=2}^{n} a_{1j}z_{j}  (3)

eine Lösung von (1).

(b) Ein Fundamentalsystem von (2) ergibt via (3) zusammen mit u ein Fundamentalsystem von (1).

Aufgabe 28: (4 Punkte) Geben Sie ein Fundamentalsystem an für das System

\begin{aligned}y′_{1} & = & y_{1} + \frac{1}{2}y_{2} − \frac{1}{2}y_{3} + 1 \\ y′_{2} & = & \frac{3}{2}y_{2} − \frac{1}{2}y_{3} − 2 \\ y′_{3} & = & \frac{1}{2}y_{2} + \frac{1}{2}y_{3} + x \end{aligned}

und lösen Sie das Anfangswertproblem

y_{1}(0) = 0 , y_{2}(0) = 1 , y_{3}(0) = −1 .

Aufgabe 29: (4 Punkte) Berechnen Sie für die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

y′′ + \frac{β − x}{x}y′ − \frac{α}{x}y = 0 , α, β ∈ C

im Falle nicht ganzzahliger β ein Fundamentalsystem. Zeigen Sie, daß die Reihen für alle x konvergieren.

Aufgabe 30: (4 Punkte)

(a) Berechnen Sie durch Potenzreihenentwicklung die Lösung der Anfangswertaufgabe

(1 + x)y′ − αy = 0 , y(0) = 1 .

(b) Beweisen Sie mit Hilfe von (a) die binomische Formel

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} ( \begin{matrix}α \\ k \end{matrix} ) x^{k} .

Aufgabe 31: (4 Punkte) Sei J_{ν} die Bessel-Funktion 1. Art der Ordnung ν. Zeigen Sie:

J_{ν}(x)J′_{−ν}(x) − J′_{ν}(x)J_{−ν}(x) = −\frac{2 sin νπ}{πx} , x > 0 .

Aufgabe 32: (4 Punkte) Wir betrachten die Anfangswertaufgabe

ÿ + aẏ + by = cos ωt , y(0) = ẏ(0) = 0

mit reellen Konstanten a, b, ω. Zeigen Sie: Für a > 0, b > 0 gibt es reelle Zahlen δ, c, so daß für t → ∞

y(t) − c cos(ωt + δ) → 0 .

Berechnen Sie δ, c.

Aufgabe 33: (4+4+5 Punkte) Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben. Auf welchen Intervallen sind die Lösungen gültig?

(a) y′ = xy^{3} , y(0) = 1

(b) y′ = (x + y)^{2} , y(0) = 0

(c) y′ = f (\frac{y}{x}), y(1) = c. Dabei sei f ∈ C^{1}(IR) und c eine reelle Zahl mit c = f(c).

Aufgabe 34: (11 Punkte) Sei f ∈ C^{1}(IR^{2}) und y die Lösung der Anfangswertaufgabe

y′ = f(x, y) , y(0) = a

in einer Umgebung U von x = 0. Zeigen Sie: Es ist

\frac{∂y}{∂a}(x_{0}) ≠ 0

in ganz U.

Aufgabe 35: (4+4 Punkte) Sei L die Laplace-Transformation. Zeigen Sie:

(a) Ist f ∈ C[0, ∞) absolut beschränkt und g(t) = ∫_{0}^{t} f(τ)dτ, so ist

Lg = \frac{1}{s}Lf .

(b) Die Aufgabe (a konstant)

a ∫_{0}^{t} y(τ)dτ + y(t) = 1

besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung y ∈ C[0, ∞), und für diese gilt

(Ly)(s) = \frac{1}{a + s}

Aufgabe 36: (8 Punkte) Sei q ∈ C[a, b] und q > 0. Sei y eine Lösung von

−y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 in [a, b] ,

die nicht identisch verschwindet. Zeigen Sie: y hat in [a, b] höchstens eine Nullstelle.

Aufgabe 37: (5+5 Punkte) Seien a_{1}, a_{2} stetige Funktionen mit der Periode p. Wir betrachten die Differentialgleichung

y′′ + a_{1}y′ + a_{2}y = 0 .

Sei y_{1}, y_{2} ein Fundamentalsystem. Zeigen Sie:

(a) Es gibt Konstanten c_{ij}, so daß für alle x

y_{i}(x + p) = c_{1i}y_{1}(x) + c_{2i}y_{2}(x) , i = 1, 2 .

(b) Zu jedem Eigenwert λ der Matrix C = ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} ) gibt es eine Lösung mit y(x +

p) = λy(x).

Aufgabe 38: (7+3 Punkte)

(a) Berechnen Sie durch Potenzreihenentwicklung die Lösung der Anfangswertaufgabe

y′′ − a^{2}y = 0 , a = const. ≠ 0 ,

y(0) = 0, y′(0) = a.

(b) Beweisen Sie mit Hilfe von (a) die Formel

sinh(ax) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(ax)^{2k+1}}{(2k + 1)!}

Aufgabe 39: (11 Punkte) Wir betrachten das System

y′_{1} = ay_{1} ; y′_{2} = 2y_{1} + ay_{2}

mit einer Konstanten a ∈ C. Zeigen Sie: Es bleiben für jede Lösung genau dann |y_{i}(x)|, i = 1, 2, für x → ∞ beschränkt, wenn Rea < 0 gilt.

Aufgabe 40: (6 Punkte) Geben Sie eine spezielle Lösung der Differentialgleichung

y′′ + ω^{2}y = e^{x} + 1 + x , ω konstant , (ω ≠ 0)

an.

Bemerkung: Die Klausur ist bestanden, wenn 25 Punkte erreicht werden.