Arbeitsgruppe Geometrie, Topologie und Gruppentheorie

Mathematisches Institut, Universität Münster

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Vorlesung

Räume nichtpositiver Krümmung

Wintersemester 20/21

Prof. Dr. Linus Kramer

mit Dr. Bakul Sathaye und Philip Möller

Krümmung
Ein geodätischer metrischer Raum hat nicht-positive Krümmung, wenn geodätische Dreiecke nicht dicker sind als Vergleichsdreiecke im euklidischen Raum. Solche Räume spielen heutzutage in Geometrie, Topologie und Gruppentheorie eine wichtige Rolle. Zum Beispiel ist jede einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtpositiver Schnittkrümmung ein metrischer Raum nichtpositiver Krümmung. Aber auch Bäume oder Bruhat-Tits Gebäude sind Beispiele solcher Räume. Die Vorlesung soll eine Einführung in dieses Gebiet geben.

Zielgruppe der Vorlesung sind Studentinnen und Studenten im Masterstudium. Die Anrechenbarkeit können Sie direkt mit mir besprechen. Das Thema eignet sich als Einstieg in eine Masterarbeit. Abgesehen davon bietet es aber auch eine gute Grundlage für Arbeiten in anderen Gebieten.

Geplante Themen sind: Metrische Räume, Gromov-Hausdorff-Abstand, Gromov-Hyperbolizität, Krümmungsbedingungen, Fixpunktsätze, Konvexität, quasi-Isometrien, Gruppenwirkungen auf CAT(0)-Räumen.

Voraussetzungen sind Interesse an Geometrie, Topologie und Gruppentheorie sowie Vorkenntnisse der Algebra (Gruppentheorie), der Topologie (Fundamentalgruppe) oder der Geometrie (Riemannsche Mannigfaltigkeiten). Im übrigen werde ich mich an der Vorkenntnissen der Teilnehmer orientieren.

Die Vorlesung lässt sich in diversen Modul-Kombinationen anrechnen. Besprechen Sie das direkt mit mir! In Kombination mit anderen Vorlesungen kann sie der Ausgangspunkt einer Masterarbeit sein.

Die Vorlesung findet Montags und Donnerstag 8:15 - 10:00 Uhr statt. Sie beginnt am Montag 02.11.2020 um 8:15 Uhr. Zur Vorlesung ist eine Seite im Learnweb eingerichtet. Schreiben Sie mir bitte, wenn es damit Probleme gibt. Die Vorlesung wird per Video im Learnweb angeboten. Für Rückmeldungen dazu bin ich dankbar. Ich plane, am Ende der Veranstaltung mündliche Prüfungen abzuhalten für alle, die eine Prüfung und Note brauchen.

Begleitend zur Vorlesung finden Übungen statt, für die es ebenfalls seine Seite im Learnweb gibt. Die regelmässige und aktive Teilnahme an den Übungen ist ganz wesentlich.

Literatur: (diese und weitere Bücher zur Vorlesung finden Sie in der Bibliothek, einige davon auch als pdf im learnweb):

Ballmann-Gromov-Schroeder, Manifolds of Nonpositive Curvature
Bridson-Haefliger, Spaces of Non-Positive Curvature
Brown, Buildings
Burago-Burago-Ivanov, A Course in Metric Geometry
Chavel, Riemannian Geometry
Davis, The Geometry and Topology of Coxeter Groups
Dugundji, Topology
Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces
Meyer, Toponogov's Theorem and Applications
Munkres, Elements of Algebraic Topology
O'Neill, Semi-Riemannian Geometry

Übungsblätter:

Blatt 1 (Abgabe am Donnerstag 12.11.2020 im Learnweb)
Blatt 2 (Abgabe am Donnerstag 19.11.2020 im Learnweb)
Blatt 3 (Abgabe am Donnerstag 26.11.2020 im Learnweb) Aufgabe 3.1 wurde korrigiert.
Blatt 4 (Abgabe am Donnerstag 03.12.2020 im Learnweb) Aufgabe 4.1 wurde korrigiert.
Blatt 5 (Abgabe am Donnerstag 10.12.2020 im Learnweb)
Blatt 6 (Abgabe am Donnerstag 17.12.2020 im Learnweb)
Blatt 7 (Abgabe am Donnerstag 07.01.2021 im Learnweb)
Blatt 8 (Abgabe am Donnerstag 14.01.2021 im Learnweb)
Blatt 9 (Abgabe am Donnerstag 21.01.2021 im Learnweb)
Blatt 10 (Abgabe am Donnerstag 28.01.2021 im Learnweb)
Blatt 11 (Abgabe am Donnerstag 04.02.2021 im Learnweb)

Vorlesungsnotizen:

Zur Nachbereitung der Vorlesung können Sie hier meine eigenen handschriftlichen Notizen einsehen. Es handelt sich dabei aber nicht um ein Vorlesungsskript.

Deckblatt
Kapitel 1
Kapitel 2 Def. 10 wurde korrigiert, es wird ein Durchschnitt über abgeschlossene Bälle genommen.
Kapitel 3
Kapitel 4
Kapitel 5
Zuletzt geändert: 10.02.21, 11:09:29