Seminar Pontrjagin-Dualität

Sommersemester 19

Prof. Dr. Linus Kramer und Nils Leder

In dem Seminar beschäftigen wir uns mit der Kategorie LCA der lokalkompakten abelschen Gruppen. Jeder Gruppe A in LCA kann man ihre duale Gruppe Â = Hom(A,S¹) zuordnen. Versehen mit einer geeigneten Topologie ist Â wieder eine Gruppe in LCA. Das ist in etwa vergleichbar mit dem Übergang auf den Dualraum eines Vektorraumes. Pontrjagins Dualitätssatz besagt unter anderem, dass die natürliche Abbildung in den Bidual A → Hom(Â,S¹) ein Isomorphismus ist. Man erhält aber eine ganze Menge zusätzlicher Informationen. Zum Beispiel ist das Dual einer kompakten abelschen Gruppe stets diskret (und umgekehrt). Algebraische Eigenschaften des Duals Â lassen sich in topologische Eigenschaften von A übersetzen. Pontrjagin-Dualität ist schließlich auch für die harmonische Analysis interessant.

Geplante Themen sind (je nach Teilnehmerzahl):
Struktur von endlich erzeugten abelschen Gruppen und der Elementarteilersatz, abgeschlossene Untergruppen und Quotienten von R^m, die kompakt-offene Topologie, das Haar-Integral, der Satz von Peter-Weyl, Kategorien und Funktoren, Limiten, der Dualitätssatz, Annihilatoren und Untergruppen.
(Ein pdf-File der Themen.)

Die Vorlesung richtet sich an fortgeschrittene Studierende der Mathematik. Einige Themen sind auch für Lehramtsstudierende geeignet.

Voraussetzung sind Interesse an Gruppentheorie, sichere Kenntnis des Stoffes der Vorlesungen Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie und Einführung in die Algebra. Der Inhalt der Vorlesungen Liegruppen oder Lokalkompakte Gruppen ist sehr hilfreich, aber nicht obligatorisch. Eine Vorbesprechung findet am Montag 14.1.2019 um 11:00 Uhr im Lichthof des 3. Stockwerkes statt.

Literatur:
Stroppel, Locally compact groups
Deitmar, Echterhoff, Principles of harmonic analysis
Kramer, Locally compact groups (Manuskript auf meiner Webseite)
Hewitt, Ross, Abstract harmonic analysis I
Hofmann, Morris, The structure of compact groups
Dugundji, Topology
Jacobson, Basic Algebra I, II