Vorlesung

Differentialgeometrie I

2019

Zur Vorlesung Differentialgeometrie I
Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Riemannsche Geometrie. Am Anfang wiederholen wir Grundlegendes aus der Differentialgeometrie: Mannigfaltigkeiten, glatte Abbildungen, Tangentialvektoren, Tangentialbündel und Vektorfelder. Mit Hilfe der Riemannschen Metrik führen wir dann den Levi-Civita Zusammenhang ein und darüber verschiedene Krümmungsbegriffe. Schließlich werden wir an verschiedenen Sätzen sehen, dass die Krümmung die globale Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit bestimmt.
Die Vorlesung beginnt eine Spezialisierung in der Geometrie. Im kommenden Sommersemester wird es ein weiterführendes Seminar geben, das zu einer Bachelorarbeit führen kann. Im Masterstudium gibt es mehrere Veranstaltungen, die auf dieser Vorlesung aufbauen. Ich werde auch Bachelorarbeiten zu Themen der Vorlesung betreuen.

Zielgruppe der Vorlesung sind Studentinnen und Studenten im fünften Semester im 1-Fach Bachelor Mathematik sowie im Master Mathematik. Die Vorlesung eignet sich auch für Physikerinnen und Physiker.

Geplante Themen der Vorlesung sind: Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Geodäten, Levi-Civita Zusammenhang, Krümmungstensor, Jacobifelder, erste und zweite Variationsformel, Untermannigfaltigkeiten, Satz von Hopf-Rinow, Gauß-Lemma, Synge-Lemma, Satz von Bonnet-Myers, Vergleichssätze von Rauch, Satz von Hadamard-Cartan.

Voraussetzungen sind Interesse an der Geometrie und sichere Kenntnisse des Stoffes der Anfängervorlesungen. Weiter sollten Sie mit den Grundlagen der Topologie vetraut sein, wie sie etwa in der Vorlesung Grundlagen der Geometrie, Topologe und Analysis vermittelt werden.

Die Vorlesung findet Mo und Do 8 - 10 Uhr im M5 statt. Sie beginnt am Mo 7.10.2019 um 8:15 Uhr.

Begleitend zur Vorlesung finden Übungen statt. Die regelmäßige und aktive Teilnahme an den Übungen ist ganz wesentlich.

Melden Sie sich bitte hierfür im Learnweb für den Kurs "Diffgeo1WS19" mit dem in der Vorlesung bekanntgegebenen Einschreibeschlüssel an.

Es gibt folgende Übungstermine:

Mi. 12–14 Uhr, bei Justus Westerhoff im SRZ 213, Orléans-Ring 12

Fr. 12–14 Uhr, bei Konrad Bals im SRZ 203, Orléans-Ring 12

Bei Fragen zu den Übungen wenden Sie sich bitte an Raphael Reinauer.

Literatur (diese und weitere Bücher zur Vorlesung finden Sie in der Bibliothek):

A. Besse, Einstein Manifolds
W.M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry
G. Bredon, Topology and Geometry
I. Chavel, Riemannian Geometry
S. Gallo, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry
S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces
M. Hirsch, Differential Topology
S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I,II
S. Lang, Analysis
B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry
P. Petersen, Riemannian Geometry
M. Spivak, Differential Geometry, Vol I
F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups

Übungsblätter:

Übungsblatt	vom	Abgabe am
Blatt 1	10.10.2019	17.10.2019
Blatt 2	17.10.2019	24.10.2019
Blatt 3	24.10.2019	31.10.2019
Blatt 4	31.10.2019	07.11.2019
Blatt 5	07.10.2019	14.11.2019
Blatt 6	14.10.2019	21.11.2019
Blatt 7	21.10.2019	28.11.2019
Blatt 8	28.10.2019	05.12.2019
Blatt 9	05.12.2019	12.12.2019
Blatt 10	12.12.2019	19.12.2019
Das große Weihnachtsquiz
Blatt 11 (einige Korrekturen)	19.12.2019	09.01.2020
Blatt 12	09.01.2020	16.01.2020
Die 2. Variation des Quiz

Vorlesungsnotizen:

Zur Nachbereitung der Vorlesung können Sie hier meine eigenen handschriftlichen Notizen einsehen. Es handelt sich dabei aber nicht um ein Vorlesungsskript. Für Hinweise auf Fehler bin ich dankbar.

Weiterführende Veranstaltungen in den kommenden Semestern, die auf dieser Vorlesung aufbauen:

SoSe 20: Seminar Morse-Theorie (Böhm, Vorbesprechung am 28.1.20 um 10:00 Uhr in Zimmer 412)

SoSe 20: Seminar Automatische Stetigkeit (Varghese)

SoSe 20: Vorlesung Selected topics in differential geometry (Lohkamp)

WiSe 20: Vorlesung Differentialgeometrie II (Böhm)

WiSe 20: Vorlesung Räume nichtpositiver Krümmung (Kramer)