inforum 1/2011 - Lösung inforum-Quiz

1/2011 Inhalt - Vorheriger Artikel - Nächster Artikel - Impressum

---

Lösung inforum-Quiz

B. Süselbeck

Aus einem Schulbuch der 7. Klasse...

Die Aufgabe war so kurz, dass sie hier noch einmal wiederholt werden soll:

In einem Gestüt reicht der Futtervorrat für 16 Pferde 105 Tage lang. Nach 9 Tagen werden 4 Pferde verkauft und nach weiteren 23 Tagen werden 3 Pferde erworben. Wie lange reicht der Futtervorrat insgesamt?

Die Lösung:

Mathematisch gesehen besteht die Lösung der Aufgabe darin, die Nullstelle einer Funktion zu bestimmen.

Wie bei einer typischen Schulbuchaufgabe werden einige Voraussetzungen stillschweigend unterstellt, z. B. dass alle Pferde pro Tag die gleiche Menge Futter fressen. Wir sollten also nicht von einer bunt zusammengewürfelten Herde aus Islandponys, Arabern und Haflingern ausgehen. Auch sollte klar sein, dass am Anfang Futter vorhanden ist, immer Pferde im Stall stehen und sie auch wirklich etwas zu sich nehmen.

Unsere Funktion f bildet also die Zeit ab auf die Menge der noch vorhandenen Futterportionen. Die absolute Menge des Futters kann man hier nicht beschreiben, da nicht bekannt ist, wie viel Hafer z. B. ein Pferd pro Tag vertilgt.

Was weiß man nun über diese Funktion? Zunächst gilt f(0) > 0. Außerdem ist f strikt monoton fallend. Das ergibt sich hier aus den oben genannten Voraussetzungen, wie auch die Tatsache, dass die Abnahme des Futters mit konstanter Rate erfolgt, die sich allerdings ändert, wenn die Anzahl der Pferde, die nicht 0 werden darf, variiert. Unsere Funktion ist also stückweise linear und zusätzlich auch noch stetig, denn es wird kein Futter gekauft oder verkauft.

Damit ist das Problem im Sinne der Reinen Mathematik gelöst, getreu dem Motto „es gibt eine Lösung und sie ist eindeutig“. Diese Lösung ist nämlich die eindeutig bestimmte Nullstelle (Zeitpunkt an dem das Futter ausgeht). Alles Weitere ist also nicht mehr wirklich interessant.

Leider wird sich der Gutsbesitzer mit einer derartigen Antwort seines Hausmathematikers nicht zufrieden geben, d. h. es muss doch ein wenig Angewandte Mathematik betrieben werden. Dazu seien t₀ , t₁ , ..., t_n die verschiedenen Zeitpunkte, an denen sich der Bestand ändert, und mit p₀, p₁, ... , p_n werden die absoluten Zahlen der jeweils vorhandenen Pferde bezeichnet. Im Intervall ( t_i , t_i+1 ] stimmt die oben eingeführte Funktion f dann mit einer linearen Funktion der Form

f _i(t) = a_i · t + b_i

überein, deren Steigung a_i und Abschnitt b_i nicht bekannt sind. Da aber der Futterbestand bei p_i Pferden täglich um genau p_i Portionen abnimmt, ist schnell klar, dass a_i = − p_i gilt. Der Wert b_i lässt sich aber auch ermitteln, da man entweder den Futterbestand h_i (h für Hafer) zu Beginn des Intervalls oder den Zeitpunkt s_i ( s für „starve“), an dem das Futter ausgehen würde, wenn die Anzahl der Pferde konstant bliebe, kennt.

Im ersten Fall gilt

h_i = f_i(ti) = −p_i · t_i + b_i   d. h.   b_i = h_i + p_i · t_i

also

f_i(t) = −p_i · t + h_i + p_i · t_i = p_i · (t_i − t) + h_i.

Man erhält dann das Ende des Futtermittelbestandes aus

0 = f_i (s_i ) = p_i · (t_i − s_i ) + h_i   d. h.   s_i = t_i + h_i /p_i .

Im zweiten Fall ergibt sich

0 = f_i (s_i ) = -p_i · s_i + b_i   d. h.   b_i = p_i · s_i

und damit

f(t) = −p _i · t + p_i · s_i = p_i ·(s_i − t).

Der Futtermittelbestand zu Beginn des Intervalls ist dann

h_i = f(t_i) = p_i · (s_i − t_i).

Wie hilft das bei der Lösung der konkreten Aufgabe? Ausgehend vom bekannten Wert s₀ = 105 ermittelt man unter Verwendung des Pferdebestandes (16, 12, 15) zu den Zeitpunkten (0, 9, 32) den Anfangsbestand des Futter mit Hilfe obiger Formeln als h₀ = 16 · (105 − 0) = 1680.

Davon ausgehend kann man nun den Futtervorrat zu Beginn aller Intervall berechnen, wenn man berücksichtigt, dass (wegen der Stetigkeit der Funktion f ) der Endbestand in einem Intervall der Anfangsbestand des nächsten ist: h_i+1 = f_i (t_i+1), d. h.

h_i+1 = p_i · (t_i − t_i+1) + h_i .

hier ist also h₁ = 16 · (0 − 9) + 1680 = 1536 und h₂ = 12 · (9 − 32) + 1536 = 1260. Daraus ergibt sich aber nun leicht der gesuchte Wert

s₂ = 32 + 1260/15 = 32 + 84 = 116.

Warum also einfach, wenn es auch kompliziert geht? Wenn der Pferdemarkt aber boomt und es Hunderte von Zu- bzw. Abgängen in unserem Gestüt gibt, dann sind die oben entwickelten Formeln doch nützlich.

Das Ausrechnen im Kopf wird dem Gestütsmathematiker dann natürlich zu lästig. Bekanntlich können Mathematiker ja nicht rechnen. Er wird also einen Programmierer beauftragen, die allgemeine Lösung des Problems in Software zu gießen.

Die iterative Berechnung der Futtermittelbestände schreit geradezu nach Programmierung in einer Schleife, aber in „array“-orientierten Sprachen wie Matlab geht das eleganter (hier gezeigt mit anderen Daten):

>> t = 0:9; % times of trade
>> p = [10, 50, 5, 100, 20, 70, 10, 90, 80, 200]; % horses in stable
>> s0 = 100; % initial starving time
>> n = length(t);
>> h = cumsum([p(1)* s0, -p(1:(n -1)).* diff (t)]); % stock of oat
>> s2 = t(n)+ h(n)/p(n) % final starving time
s 2 =
11.8250
>> plot ([t, s2], [h, 0])

Als Lösung ergibt sich ein nicht ganzzahliger Wert, so dass schon irgendwann am 11. Tag das Fasten für die armen Tiere beginnt. Die Grafik veranschaulicht die Funktion f .

Abb. 1: Hafervorrat

Matlab gibt es übrigens beim ZIV, und wer das obige Programm verstehen lernen will, kann die entsprechenden Lehrveranstaltungen besuchen.

Zum Abschluss sei angemerkt, dass die Aufgabe wohl mit Hilfe eines Dreisatzes gelöst werden sollte. Den hat der Autor aber nie richtig verstanden, weshalb es leider zu dieser etwas komplexen Lösung kam.

---

1/2011 Inhalt - Vorheriger Artikel - Nächster Artikel - Impressum

Zentrum für Informationsverarbeitung (Universitätsrechenzentrum)

Diese Seite:

• :: Seite empfehlen
• :: Seite kommentieren, Link öffnet neues Fenster