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Forschungsschwerpunkte 2003 - 2004    zurück    weiter

Prof. Dr. K. Langmann Verallgemeinerte Gaußsche Summen und Diophantische Gleichungen   Ausgangspunkt ist die asymptotische Berechnung der Gaußschen Summe exp (2 π i k ) , wobei (x, y) alle ganzen Zahlenpaare aus einem großen Bereich durchläuft. Bei dieser asymptotischen Entwicklung sind die Koeffizienten ganz eng mit den ganzzahligen Lösungen der Gleichung axn + byn = zn korreliert. Daraus ergeben sich Folgerungen: Die diophantische Gleichung axn + byn = zn ist genau dann unlösbar, wenn die kleinsten Reste mod 1 der Zahlenmenge in einem nahe liegenden Sinn gleichverteilt sind. Sei φ: und gegen ± schnell verschwindende C-Funktion. Das dreidimensionale Integral über den Kubus [-R, R]³ der Funktion φ (ax + by + cz) soll mit (2 R)³ vielen Stützstellen (ζi, ζj, ζk)-R i, j, k R; durch eine Riemannsche Zwischensumme approximiert werden. Bei äquidistanten Stützstellen ist der Fehler ~ R². Bei monomialen Stützstellen ζi = (i/R)n R (für n , n > 1 fest) ist der Fehler ~ R 3/2 genau dann, wenn die diophantische Gleichung axn + byn = czn lösbar ist; ist diese unlösbar, so ist der Fehler R¹+ε. Wenn n  K für ein kompaktes Intervall K nicht mehr fest ist und die obige Approximation bei laufendem n gleichmäßig ist, so ist für jedes n  K die diophantische Gleichung axn + byn = czn unlösbar. Bekannt ist seit Hardy/Landau, dass gewisse Formeln für die Gitterpunktanzahl z. B. von Kreisen nicht besser als eine bestimmte Größenordnung sein können. Es folgt nun, dass auch andere als diese (vielleicht etwas willkürlich erscheinenden) Formeln nicht eine bessere Approximation liefern können, sofern diese Formeln sich elementar aus Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zusammensetzen. Drittmittelgeber: DFG Beteiligter Wissenschaftler: Klaus Langmann Veröffentlichungen: Monatsh. Math. 143, 205 – 227 (2004).