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Viele physikalische, chemische oder auch biologische Prozesse können mit
Hilfe partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Weisen die
zugrunde liegenden Prozesse eine nichtlineare Dynamik auf, so ist eine
Analyse und Vorhersage des komplexen Verhaltens oft nur durch eine
numerische Lösung der entsprechenden nichtlinearen
Differentialgleichungen möglich.
Trotz wachsender Rechenkapazitäten sind viele Probleme aber aufgrund der
hohen Komplexität auch heute nur unter starken Vereinfachungen
handhabbar. Man denke dabei beispielsweise an Wettervorhersagen und die
vielen verschiedenen Prozesse, welche in diesem Zusammenhang betrachtet
werden müssen. An diesem Beispiel lässt sich auch verdeutlichen, dass es
von großer Bedeutung ist, dass die entwickelten Verfahren effizient
sind, d.h. dass numerische Verfahren mit so wenig Aufwand wie möglich zu
einer bestmöglichen Lösung führen: Die Wettervorhersage von gestern ist
schließlich nicht von Interesse.
Ziel dieses Seminars ist daher die Erarbeitung von mathematischen
Methoden zur Modellreduktion von Partiellen Differentialgleichung. Dabei
wollen wir Modellreduktion so verstehen, dass eine numerische Umsetzung
des reduzierten Modells einen geringeren Rechenaufwand hat, als das
nicht-reduzierte Modell. Beispiele solcher Methoden sind
Dimensionsreduktion, Approximation der zugrunde liegenden
physikalischen, chemischen oder biologischen Prozesse,
Gebietszerleguns-verfahren, oder die Mehrskalenmodellierung. |
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