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Viele physikalische, chemische oder auch biologische Prozesse können mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Da eine analytische Lösung der Gleichungen nur selten möglich ist, müssen numerische Verfahren angewandt werden, um das Verhalten dieser
Prozesse dennoch studieren, analysieren und vorhersagen zu können. Dabei wächst die Komplexität des numerischen Problems mit der Komplexität der zugrundeliegenden Gleichungen und des betrachteten Gebiets.
Trotz wachsender Rechenkapazitäten ist in vielen Anwendungsfällen auch eine numerische Lösung nur unter erheblichem Zeit- und Geldaufwand zu erlangen. (Die Kosten des derzeit auf der Top500-Liste führenden Supercomputers werden auf 97 Millionen USD geschätzt, die
Leistungsaufnahme beträgt 8,2 Megawatt.) Da die zugrundeliegenden Gleichungen häufig nicht nur einmal, sondern (z.B. bei der Designoptimierung) viele Male für veränderte Parameter gelöst werden
müssen, ist es daher von großem Interesse so genannte Modellreduktionsverfahren zu entwickeln, die den Aufwand wiederholter Berechnungen reduzieren, ohne dass man dabei relevante Einbußen bei der Qualität der errechneten Lösung hinnehmen muss.
In dieser Vorlesung werden wir uns primär mit der so genannten Reduzierte-Basis-Methode beschäftigen. Hauptbestandteil dieser Methode ist die Aufspaltung der Berechnungen in eine rechnerisch aufwändige "Offline"-Phase und eine schnelle "Online"-Phase. In der Offline-Phase
werden hochdimensionale Lösungen zu verschiedenen Parametern vorberechnet, aus denen dann ein niedrigdimensionaler Reduzierte-Basis-Raum konstruiert wird, der die Lösungen möglichst gut
approximiert. Diese Offline-Phase könnte zum Beispiel auf einem Supercomputer durchgeführt werden. In der Online-Phase kann nun sehr effizient für neue Parameter-Werte eine Lösung innerhalb des Reduzierte-Basis-Raums bestimmt werden. Diese Berechnungen können auch
auf weniger leistungsfähigen Hardware-Architekturen, wie zum Beispiel Desktop-Computern oder gar Mobiltelefonen, schnell durchgeführt werden. Die Qualität der Approximationen wird dabei durch den Einsatz von Fehlerschätzern sichergestellt.
Im praktischen Teil der Veranstaltung werden wir in einem integrierten Praktikum die vorgestellten Verfahren an verschiedenen Beispielen mit Hilfe des Modellreduktions-Frameworks pyMor implementieren und nachvollziehen. Die hierfür nötigen Kenntnisse der Programmiersprache
Python werden zu Beginn der Veranstaltung vermittelt, Grundkenntnisse der Programmierung sind allerdings wünschenswert.
Diese Veranstaltung kann auch als Grundlage für eine Masterarbeit im Bereich der Modellreduktion dienen.
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eG